Кантор. Бесконечность в математике. - Густаво Эрнесто Пинейро

Введение

Когда в звездную безлунную ночь вдали от городских огней мы любуемся восхитительным зрелищем, в глубине души рождается тревожное чувство: насколько же мала наша планета в сравнении с бесконечностью!

Бесконечность — не только сложное математическое понятие. Дуализм бесконечного — того, что буквально «не имеет конца», — и его противоположности, конечного — того, что рано или поздно заканчивается, — вероятно, сопровождал человечество с тех самых пор, когда первый Homo sapiens задумался, есть ли предел у неба, можно ли достичь горизонта, действительно ли заканчивается наша жизнь или каким-то образом непрерывно продолжается.

Но бесконечность также способна вызывать головокружение и, согласно древнегреческому философу Зенону Элейскому, парализовать всю Вселенную. В VI веке до н.э. Парменид Элейский — некоторые историки считают его отцом западной метафизики — постулировал существование бытия, главная характеристика которого сводится к тому, что оно существует. Бытие существует, оно есть.

Отталкиваясь от этого, Парменид заключил, что бытие вмещает в себя весь мир, ибо будь в нем некий участок, где его нет, это означало бы, что бытия в нем не существует. Это является терминологическим противоречием, то есть такое невозможно. Следовательно, бытие вмещает в себя всю Вселенную. Другими словами, вся она, включая нас, составляет бытие. Бытие неизменно, оно не может меняться. Предположим, что оно перешло из состояния А в состояние В. В таком случае оно перестало существовать в состоянии А, а это невозможно, потому что бытие не может прекратить свое существование. Следовательно, бытие и вся Вселенная неизменны. Это означает, что хотя, как нам кажется, мы наблюдаем изменения и движение, на самом деле их не существует. Даже времени не существует: у бытия нет ни прошлого, ни будущего — только настоящее.

Ученик Парменида Зенон выдвинул целый ряд заключений, парадоксов. Как и его учитель, он утверждал: изменений и движения не существует. То, что мы видим, — заблуждение, в которое нас вводят органы чувств, а разум и логика в состоянии это доказать.

Во всех парадоксах Зенона так или иначе присутствует понятие бесконечности. В одном из них утверждается, что если мы бросим камень в дерево, растущее в одном метре от нас, вопреки увиденному камень никогда не попадет в него, более того, он так и останется у нас в руке.

Зенон рассуждал следующим образом: чтобы долететь до дерева, камень должен преодолеть расстояние в полметра, а до этого — четверть метра, а еще раньше — восьмую часть метра, шестнадцатую и так далее. Чтобы угодить в дерево, камню придется совершить бесконечное число переходов. Но невозможно выполнить бесконечное количество движений за конечное время. Поэтому, заключает Зенон, камень никогда не коснется дерева. Эти же рассуждения справедливы и для миллиметрового масштаба, и для тысячной доли миллиметра. Действительно, получается, что камень никогда не отделится от нашей руки. Таким образом, по Зенону, бесконечное позволяет показать, что Вселенная неизменна.

В IV веке до н.э. Аристотель, заложивший основы систематического изучения логики и науки в целом, написал трактат «Физика». Среди прочих вопросов в нем исследовалось и движение тел. Но сначала Аристотелю предстояло доказать, что движение вообще существует в действительности, а значит, опровергнуть доводы Парменида и Зенона.

Если бытие не может не существовать, то как оно способно изменять свое состояние, переставать быть? Аристотель говорит, что оно есть, но иногда оно состоит в потенции, а иногда — в действии. Когда ребенок вырастает и оказывается взрослым, он не перестает быть ребенком, ребенок — это взрослый в потенции, который становится взрослым в действии. Ребенок изменился, но не прекратил существовать. Зерно — это растение в потенции, белый лист — текст в потенции и так далее. Несколько веков спустя Микеланджело Буонаротти высказал похожую мысль: в глыбе мрамора уже содержится скульптура, и нужно только отсечь все лишнее. Так Аристотель совместил представление Парменида о бытии с возможностью изменения.

После того как было доказано, что бытие способно изменяться, как можно опровергнуть аргументы Зенона? Во всех его парадоксах предполагается, что пространство и время бесконечно делимы. В примере с деревом между деревом и рукой имеется бесконечное количество переходов. Тогда Аристотель сказал, что бесконечности не существует. Точнее, она существует только в потенции и никогда — в действии. Идея бесконечности в потенции подразумевает, что некое количество может возрастать сколько угодно, но все равно в итоге будет конечным, идея бесконечности в действии — что это количество на самом деле бесконечно. Это различие очень важное, и мы еще к нему вернемся. По Аристотелю, можно допустить наличие количества, которое возрастает неопределенным образом, но всегда будет конечным, однако нельзя принять идею действительно бесконечного количества. Допустимо разделить расстояние между рукой и деревом на десять, сто, тысячу частей или на любое конечное количество каких угодно единиц измерения, но нельзя утверждать, что оно делится на действительно бесконечное количество фрагментов.

Аристотель не ограничился постулированием несуществования актуальной бесконечности, он привел несколько аргументов в поддержку этого тезиса, которые мы рассмотрим далее. Тем не менее необходимо сказать, что аристотелевское отрицание актуальной бесконечности оказывало влияние на европейскую философию на протяжении двух тысячелетий.

Помимо силы доводов столь длительное господство его идеи объясняется двумя причинами.

Прежде всего, человеческий разум не в состоянии представить себе актуальную бесконечность, поэтому нам проще принять то, что на самом деле ее не существует. Мы скорее представим потенциальную бесконечность — количество, которое бесконечно возрастает, — но не актуальную бесконечность. Как выглядела бы, например, прямая действительно бесконечной длины? Нужно представить себе линию целиком (то есть то, что мы «видим» в воображении, не должно быть отрезком прямой), но при этом бесконечную. Однако наш разум неспособен создать такой образ. Мы можем представить линию, которая уходит за горизонт, и сказать, что она продолжается до бесконечности, но в таком случае мы «видим» прямую с длиной, «бесконечной в потенции», так как наше зрение охватывает только ее часть. Или же возьмем числа 0,1,2,3,4,5 и так далее. Представить этот ряд как действительно бесконечный значило бы представить все числа без исключений в одном списке, но при этом этот список не должен кончаться. Нашему разуму это не под силу.

Вторая причина, по которой аристотелевский подход к бесконечности имел такой успех, состоит в том, что, рассуждая о бесконечности как о реальности, нельзя не столкнуться с логическими противоречиями или прийти к странным выводам — как Зенон, заключивший, что изменений и движения не существует. Еще один пример относится к XVII веку, когда перед Галилео Галилеем возникли противоречия, впоследствии приведшие его к отрицанию актуальной бесконечности. В XIX веке чешский математик Бернард Больцано попытался развить теорию математической бесконечности, но и он обнаружил парадоксы, для которых не смог найти удовлетворительного решения. Далее мы разберем оба случая.