Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин Страница 10

Но не беспокойтесь, фанаты Марка Твена! Этот человек сам сказал: «Вначале дайте ваши факты, а потом можете переиначивать их столько, сколько вам заблагорассудится». Такой виртуозный выдумщик, как Твен, мог рассказывать истории о чем угодно – даже о числах. Для примера:

Все эти сухие подробности важны потому, что дают мне возможность рассказать об одной из характернейших особенностей Миссисипи – о том, как она время от времени сокращает себе путь [11].

Как и во всех старых реках, воды Миссисипи струятся через лениво петляющие повороты. На одном участке своего течения она извивается так, что тянется на 2000 км, тогда как по прямой там всего 1086 км. И время от времени река прорезает узкие перешейки земли, укорачивая свое русло. «Не раз она сокращала свой путь на тридцать миль (48 км) одним прыжком» [12], – говорит Марк Твен. По сравнению с тем, что было за 200 лет до того, как вышла книга Твена, нижний отрезок реки между Каиром, штат Иллинойс, и Новым Орлеаном, штат Луизиана, сократился с 1955 до 1899 км, а затем до 1688 км и даже 1566 км.

Здесь снова дадим слово рассказчику:

У геологии никогда не было таких точных данных для умозаключений… А тут посмотрите сами!

За сто семьдесят шесть лет Нижняя Миссисипи укоротилась на двести сорок две мили (390 км), то есть в среднем примерно на милю и одну треть (2,15 км) в год. Отсюда всякий спокойно рассуждающий человек, если только он не слепой и не совсем идиот, сможет усмотреть, что в древнюю силурийскую эпоху – а ей в ноябре будущего года минет ровно миллион лет, – Нижняя Миссисипи имела свыше миллиона трехсот тысяч миль (2 092 147 км) в длину и висела над Мексиканским заливом наподобие удочки. Исходя из тех же данных, каждый легко поймет, что через семьсот сорок два года Нижняя Миссисипи будет иметь только одну и три четверти мили в длину (2,82 км), а улицы Каира и Нового Орлеана сольются, и будут эти два города жить да поживать, управляемые одним мэром и выбирая общий городской совет. Все-таки в науке есть что-то захватывающее. Вложишь какое-то пустяковое количество фактов, а берешь колоссальный дивиденд в виде умозаключений. Да еще с процентами [13].

Не играет ли Твен в какую-то глупую арифметическую игру? Вовсе нет! Это выдающаяся геометрическая игра. В основе математического анализа лежит фундаментальная геометрия, которая одновременно делает производные возможными и полезными, – всюду присутствующая геометрия прямой линии.

Посмотрите сами!

Мы можем нарисовать график, показывающий длину Нижней Миссисипи (от Каира до Нового Орлеана) в разные годы за время ее истории.

Да, наши данные несколько скудны, но нисходящее направление графика видно четко. В наши дни у статистиков есть излюбленный метод украшения таких схем. Этот инструмент известен экономистам, эпидемиологам и любителям поспешных обобщений как «линейная регрессия».

Во-первых, мы определяем «центральную точку» графика. Ее координатами является среднее арифметическое координат имеющихся данных.

Затем из всех прямых, проходящих через эту точку, мы выбираем ту, которая больше других совпадает с данными, то есть ближе всего проходит к уже обозначенным точкам.

Вот и все! Сейчас мы совершили переход от нескольких разрозненных точек – неподатливых и статичных – к великолепной непрерывной линии. Она включает в себя бесконечное количество точек и может быть продлена в любом направлении на такую длину, какая нам будет угодна.

Например, мы можем продлить прямую в далекое прошлое:

Подумать только! Миллион лет назад Миссисипи была просто громадной рекой, более миллиона километров длиной. Именно тогда она выглядела как гигантская удочка, висящая над Мексиканским заливом. Та, настоящая Миссисипи простиралась на расстояние в пять раз большее, чем от Земли до Луны, и при каждом обороте каменного спутника вокруг нашей планеты окатывала его, как из пожарного шланга.

Поскольку прямую можно продлить в двух направлениях, мы можем развить нашу линейную модель и вперед во времени:

Вот оно! В начале XXVIII в. Миссисипи будет иметь длину менее 1,6 км. Чтобы приспособиться к этому, североамериканский континент сомнется, как скрученная в шарик бумажка, в результате чего Каир и Новый Орлеан обретут свое долгожданное соседство вдоль реки. Между ними будет маячить расселина глубиной в 800 км, разрывающая земную кору.

Я прямо слышу, как вы жалуетесь. «Никакая серьезная математика, – скажете вы, – не может основываться на таком шатком фундаменте».

Ха! А что такое «серьезная» математика? Математика – это логическая игра, глупая шутка, состоящая из абстракций. И, как и во многих играх, прямые – это то, без чего невозможно обойтись для упрощения. Они помогают обойти медленные извилины математического анализа точно так же, как спрямившееся русло укорачивает путь реки. Именно поэтому прямые используются везде – в статистических моделях, в более многомерных преобразованиях, в экзотических геометрических поверхностях и, больше всего, в самой сущности производных.

Возьмем параболу. Если бы у вас были глаза, как у хорошо накачанного кофеином летчика-аса, едва бросив взгляд на рисунок ниже, вы заметили бы: парабола прямой не является.

Вместо этого она является – прошу прощения за использование математического жаргона – кривой. Но давайте посмотрим на нее поближе. Что вы видите теперь?